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ゆるふわブログ

東京大学理科 I 類 2 年の学生です.プログラミング,大学の勉強,日常生活で感じたことをゆるふわに書いていけたらなと思います.技術的に拙いところがあっても温かい目で見守っていただければ幸いです.

金星と地球の公転軌道が描く図形

Twitter でこのようなものが回ってきました.

最初は,この包絡線がカージオイドに似てるなと思いました.
これとは少し違うのですが,同じ円上で角速度が 2 倍の関係にある 2 点を結ぶ直線の包絡線はカージオイドになるそうです.

http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~tomodak/report/deltoid_grapes.pdf

では異なる半径の円上を異なる角速度で回っている点を結んだ直線の包絡線はどうなるのか気になりました.

いろいろ探しました.

まず,同じようなシミュレーションをやってる人がいました.

www.webtoolnavi.com

これのソースを覗いてみると,角速度の比は 8 : 13 でやっているようでした.

次に,この現象を詳しく説明している資料がありました.

http://www.sci-museum.jp/files/pdf/study/research/2011/pb21_029-036.pdf

これによると,中心天体(太陽など)と、その周りを公転する 2 天体(惑星など)の間の周期的な重力の変化により公転軌道が影響を受け (軌道共鳴),公転周期の比が整数比になるのだそうです.これを尽数関係というらしいです.特に,金星と地球の場合は 8 : 13 となり,これは 1 : 1.625 ですから,黄金比 1 : 1.618 に近く,"きれい" な比になっています.ペンタグラム等が出てくる理由もなんとなくわかりますね.

以下見にくくなるので pdf で.

github.com

これだけ見るとあっさりしてますが,けっこう大変でした…

で,例によって Desmos で描画してみました.線を重ねるより見やすくてきれい.

https://www.desmos.com/calculator/ksmybe3rrv

線分ではなく直線とすると内側の軌道円の外にはみ出している星型が見えるようです.
ちなみに  n_1,\ n_2 はスライダーを動かす等して変えられます.パラメータの定義域は適宜調節してください.

[追記]
カージオイドっぽいなというのは間違ってなかったようです.正確には,より一般なパスカルの蝸牛形ですが…
どうしてそうなるかは pdf の方に追記しておいたのでご覧ください.